Системы уравнений, базисы Грёбнера и алгоритм Бухбергера

Мы поговорим об алгоритмах решения систем полиномиальных уравнений. Начнём с истории решения уравнений от одной переменной и обсудим теорему Абеля о том, что корни типичного многочлена степени пять и выше не могут быть выражены в радикалах через коэффициенты. Потом перейдём к системам, свяжем с каждой системой так называемый идеал и определим его базис Грёбнера. Алгоритм Бухбергера, который строит базис Грёбнера, попутно отвечает на вопросы, имеет ли данная система хотя бы одно комплексное решение и конечно ли число таких решений. Некоторые из перечисленных слов могут звучать угрожающе, но все эти понятия и конструкции совершенно элементарны. Трудно поверить, что алгоритм Бухбергера появился только во второй половине XX века.